Les mathématiques du Rummi : probabilités et gestion optimale du chevalet
Le rummi a l'air d'un jeu de chance : on pioche, on espère. Pourtant, presque toutes les décisions peuvent s'appuyer sur un petit calcul. Pas besoin d'être fort en maths : il suffit de connaître la composition du jeu, de regarder ce qui est déjà sorti et de savoir compter jusqu'à 30. Voici les chiffres qui servent vraiment en partie.
La composition du jeu
Tout part de là. Le jeu compte 106 tuiles :
- 104 tuiles numérotées : les numéros de 1 à 13, en 4 couleurs (rouge, bleu, noir, orange), chacune en deux exemplaires ;
- 2 jokers.
Deux conséquences à garder en tête. Chaque tuile précise, le 7 rouge par exemple, n'existe qu'en deux exemplaires. Et chaque numéro existe en huit exemplaires, deux par couleur.
Chaque joueur reçoit 14 tuiles. La pioche de départ dépend donc du nombre de joueurs :
- à 2 joueurs : 28 tuiles distribuées, 78 dans la pioche ;
- à 3 joueurs : 42 tuiles distribuées, 64 dans la pioche ;
- à 4 joueurs : 56 tuiles distribuées, 50 dans la pioche.
Quelle chance de piocher la tuile que j'attends ?
Le raisonnement est le même tout au long de la partie : tu divises le nombre d'exemplaires qui t'arrangent et que tu ne vois nulle part par le nombre total de tuiles que tu ne vois pas.
Les tuiles que tu ne vois pas, ce sont celles de la pioche et celles des chevalets adverses. De ton point de vue, la tuile que tu cherches peut être n'importe où parmi elles.
Au tout début, tu vois tes 14 tuiles : il en reste 92 inconnues. Tu attends le 9 bleu et tu n'en as aucun : les deux exemplaires sont parmi ces 92. Ta chance de le piocher au prochain tour est de 2 sur 92, soit un peu plus de 2 %. C'est peu, et c'est la première leçon : attendre une tuile précise est un pari à faible rendement.
Plusieurs tuiles utiles changent tout
Maintenant, suppose que trois tuiles différentes t'arrangeraient, le 9 bleu, le 6 rouge et le 11 noir, toutes encore invisibles. Cela fait 6 exemplaires sur 92, soit environ 6,5 % par pioche. Sur cinq pioches, tu as à peu près 3 chances sur 10 d'en voir arriver au moins une. Ce n'est toujours pas une certitude, mais c'est un tout autre pari.
En cours de partie
Plus la table se remplit, moins il reste de tuiles inconnues, et plus chaque exemplaire restant pèse. Avec 30 tuiles sur la table et 12 sur ton chevalet, il reste 64 tuiles que tu ne vois pas. Quatre exemplaires utiles sur 64, c'est un peu plus de 6 %. Mais attention à l'autre effet : si un exemplaire de ta tuile est sur la table, il n'en reste qu'un. Si les deux y sont, la pioche ne te la donnera jamais. Il ne te reste alors qu'à aller la chercher sur la table par un réarrangement.
Compter les tuiles sorties, sans se fatiguer
Personne ne mémorise 106 tuiles. Le comptage qui sert est ciblé :
- Tes tuiles attendues. Tu as 7-8 rouge : tu surveilles les 6 rouges et les 9 rouges, quatre tuiles en tout. À chaque tour, un coup d'œil sur la table te dit combien sont déjà sorties.
- Les jokers. Deux tuiles seulement, faciles à suivre. Tant qu'un joker n'est pas sorti, il est dans la pioche ou dans une main.
- Les numéros en brelan. Tu as deux 11. Il existe huit 11 dans le jeu. Si cinq sont déjà sur la table, il n'en reste qu'un pour toi.
Inutile de calculer un pourcentage exact. Pose-toi la question en trois niveaux : ai-je plutôt une chance sur cinq, une sur dix, ou une sur trente ? Une sur cinq mérite souvent une pioche. Une sur trente, non.
Toutes les tuiles ne se valent pas
Deux tuiles en attente d'une troisième n'ont pas toutes les mêmes chances d'aboutir. Compte les exemplaires qui les complètent :
- 7-8 rouge attend un 6 rouge ou un 9 rouge : 4 exemplaires.
- 7 rouge et 7 bleu attendent un 7 noir ou un 7 orange : 4 exemplaires.
- 7-9 rouge, avec un trou, n'attend que le 8 rouge : 2 exemplaires.
- 12-13 rouge, au bord, n'attend que le 11 rouge : 2 exemplaires.
C'est pour cette raison que les tuiles du milieu (de 5 à 9) sont plus souples que celles des extrémités : elles peuvent entrer dans plus de suites différentes. Un 1 ne s'accroche qu'à 1-2-3. Un 7 entre dans 5-6-7, 6-7-8 et 7-8-9, sans compter les suites plus longues.
La meilleure tuile est celle qui sert deux projets. Un 7 rouge entre un 6 rouge et un 7 bleu peut finir dans une suite ou dans un brelan : tu doubles tes portes de sortie.
Le risque, en points
L'autre moitié du calcul concerne ce que tu risques. Si un joueur termine, chaque tuile restée en main compte sa valeur, et le joker compte 30.
Garder 11-12-13 en attendant le 10 pour faire une plus belle suite, c'est exposer 36 points pour un gain d'une seule tuile. Garder 2-3 en attendant le 1 ou le 4, c'est exposer 5 points. À chances égales, les projets en petites tuiles peuvent attendre, les projets en grosses tuiles doivent sortir.
Tu peux aussi comparer les chevalets. Si tu as 15 points en main et qu'un adversaire a dix tuiles, tu peux te permettre de prendre des risques. Dans la situation inverse, c'est à toi de poser vite.
Compter vite : les raccourcis
La première pose demande 30 points, et en multijoueur le tour est chronométré. Quelques raccourcis évitent de compter sur ses doigts :
- Brelan : trois fois le numéro. Brelan de 7 : 21. Brelan de 10 : 30. Carré : quatre fois le numéro.
- Suite : la valeur du milieu multipliée par le nombre de tuiles. 4-5-6 : 5 × 3 = 15. 7-8-9-10 : 8,5 × 4 = 34.
- L'écart à 30 : plutôt que tout additionner, compte ce qui manque. Brelan de 8 : 24, il manque 6. Une suite 1-2-3 fait 6 : le compte est bon.
Ces repères s'installent tout seuls au bout de quelques parties. Ils servent aussi en fin de manche, pour estimer d'un coup d'œil les points que tu as en main.
Et le joker ?
Mathématiquement, le joker est la tuile la plus souple du jeu, puisqu'il complète tout, et la plus chère à garder, puisqu'il compte 30 points en main. La conclusion est simple : il doit travailler tôt. Le garder dix tours pour un coup idéal revient à porter le plus gros risque du jeu pour un gain incertain. Voir la gestion du joker.
Trois règles à emporter
- Compte les exemplaires. Avant d'attendre une tuile, vérifie combien il en reste. Zéro, c'est non.
- Multiplie les tuiles utiles. Un chevalet qui attend six tuiles différentes progresse, un chevalet qui en attend une seule stagne.
- Pèse le risque en points. Les grosses tuiles sortent d'abord, les petits projets peuvent patienter.
Les mathématiques ne font pas gagner chaque partie, la pioche garde son mot à dire. Mais sur la durée, celui qui prend les décisions les plus probables finit devant celui qui joue à l'instinct. Si ce genre de raisonnement te plaît, tu aimeras aussi l'algorithme optimal au Mastermind. Et pour mettre ces chiffres à l'épreuve, lance une partie de rummi.
